EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE COMBINATORIA

 

 

En estas hojas se presenta una colección variada de ejercicios y problemas de combinatoria. Los ejercicios están mezclados de forma que no se prevea si se trata de variaciones, permutaciones o combinaciones. Todos los ejercicios deben ser razonados. No basta con dar sólo el resultado.

 

1. ¿Cuántas palabras diferentes de tres letras pueden formarse con las letras de la palabra CIMA, sin que se repita ninguna letra? Una vez calculado el número, escríbelas todas ordenadamente.

 

2. Calcula cuántas palabras diferentes de cuatro letras distintas pueden formarse con las letras de la palabra MUSA. Después escríbelas ordenadamente.

 

¿Cuántos subconjuntos distintos de tres elementos pueden formarse con un conjunto de 8 elementos?

 

Calcular el valor de m para que  V_m,3 = 2 V_m,2

 

Hallar el valor de m para que se verifique V_m,2 + V_m-1,2 + V_m-2,2 = 62

 

Escribir como cociente de números factoriales las siguientes expresiones:

 

• a) 11 x 10 x 9
• b) (x+1) x (x-1)
• c) (p-2) (p-3) (p-4)

 

Resolver la ecuación   P_x-1 = 56 P_x-3

 

Resolver la ecuación   V_x,2 + 5 P₃ = 9x + 6

 

Hallar x sabiendo que C_x,x-2 = 10

 

Resolver la ecuación   3 C_x,4 = 5 C_x,2

 

 En una carrera en la que participan 10 caballos existen dos tipos de apuesta: en la primera hay que acertar quién va a quedar primero, quién segundo y quién tercero; en la segunda hay que acertar cuáles van a ser los cuatro primeros caballos en llegar, pero no su clasificación. ¿Cuál de los dos tipos de apuesta crees que es más sencilla?

 

 ¿Cuántos números de cuatro cifras distintas pueden escribirse con las cifras 0, 2, 4, 6?

 

 Dibuja una circunferencia y marca sobre la misma doce puntos. Uniendo parejas de esos puntos ¿Cuántos pentágonos distintos se podrían formar?

 

 Con las cifras 0, 2, 4, 6 y 8 ¿cuántos números distintos de tres cifras, todas ellas diferentes, pueden formarse?

 

 ¿Cuántos números mayores que 4100 se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 4 sin que se repita ninguna?

 

 Recordando que una diagonal de un polígono convexo es el segmento que une dos vértices no consecutivos ¿cuántas diagonales se pueden trazar en un octógono convexo?

 

 Averiguar cuántas guardias de cinco personas se pueden programar con 14 soldados, con la condición de que el más antiguo de ellos ha de participar en todas.

 

 Calcular la suma de todos los números de 4 cifras distintas que se pueden formar con las cifras 1, 3, 5, 7.

 

 En una fábrica hay varios centros de almacenamiento, cada uno de los cuales está unido a los demás por una cinta transportadora. Calcula el número de centros de la fábrica si se sabe que el número de cintas transportadoras es 66.

 

 ¿Cuántos números distintos de tres cifras diferentes pueden formarse con las cifras 2, 3, 5, 7, 8, teniendo que ser la primera cifra par?

 

 Hallar cuántos números distintos de tres cifras diferentes pueden formarse con las cifras 2, 3, 4, 5, 6, 7 que estén comprendidos entre 400 y 600.

 

 Calcula la suma de todos los números de cuatro cifras significativas, todas ellas pares y diferentes.

 

 Se tienen nueve puntos en un plano. Cuatro de ellos están alineados y los restantes están dispuestos de forma que no hay nunca 3 alineados. ¿Cuántos triángulos pueden formarse que tengan sus vértices sobre esos 9 puntos? ¿Cuántas rectas distintas determinan esos puntos?

 

 ¿Cuántas señales distintas pueden hacerse con cinco banderas distintas agrupándolas de tres en tres y sin que se repita ninguna? ¿Y agrupándolas de todas las formas posibles (es decir, de una en una, de dos en dos, etc)?

 

Halla la suma de todos los números de cinco cifras diferentes que pueden formase con las cifras 0, 1, 2, 3, 4.

 

 ¿Cuántas palabras (con sentido o no) pueden formarse que tengan exactamente las mismas letras de la palabra CASTO y que empiecen y terminen por vocal?

 

 En un club de fútbol hay 23 jugadores, de los que 3 son porteros. ¿Cuántas alineaciones diferentes puede hacer el entrenador si cualquiera de los jugadores de campo puede jugar como defensa, medio o delantero?

 

 ¿Cuántos equipos de baloncesto de 5 jugadores cada uno pueden hacerse en un club de 11 jugadores, con la condición de que los jugadores A, B y C no pueden estar simultáneamente en el mismo equipo?

 

 Averiguar cuántos números mayores que 200 y menores que 700 pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 sin que tengan cifras repetidas. Responde a la misma cuestión en el caso de que las cifras se puedan repetir.

 

 

 ¿Cuántas quinielas de fútbol habría que hacer para tener la certeza de tener una de 14 aciertos? (No tenemos en cuenta la opción del pleno al 15). ¿Cuántas apuestas habría que rellenar en el Bono Loto o en la Lotería Primitiva para tener la certeza de tener una de 6 aciertos? ¿Cuántos números de la Lotería Nacional tendría que adquirir para estar seguro de que me toca el gordo? Averigua los precios actuales de cada una de esas apuestas y explica por qué existe esa variedad.

 

 Con las letras de la palabra BRAVO, ¿cuántas ordenaciones distintas pueden hacerse de forma que no haya dos vocales juntas?

 

 Suponemos ordenadas en forma creciente todas las permutaciones que pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 5, 8, 9 sin que se repita ninguna. ¿Qué lugar ocupará la permutación 598132?

 

 ¿Cuántos puntos de intersección producen 8 rectas coplanarias, sabiendo que dos de ellas son paralelas?

 

 ¿Cuántas palabras que contengan dos consonantes y dos vocales pueden formarse con cinco consonantes y cuatro vocales?

 

 Resolver la ecuación

 

 ¿Cuántos números de cinco cifras pueden formarse con las cifras 4, 5, 6 y 7? ¿Cuántos de esos números terminan en 5? Calcula la suma de todos los números obtenidos en las dos preguntas anteriores?

 

 Se suponen ordenadas en sentido creciente todas las permutaciones posibles con las cifras 1, 2, 3, 5, 7, y 8 ¿Qué lugar ocupará la permutación 731825?

 

 Con, exactamente, las letras de la palabra FRANCISCO ¿cuántas palabras pueden formarse con la condición de que empiecen por N y terminen por una consonante?

 

 De cierto número de rectas coplanarias se sabe que no hay tres de ellas que concurran en el mismo punto y no hay ninguna pareja de rectas paralelas. Esas rectas producen 45 puntos al cortarse. ¿De cuántas rectas estamos hablando?

 

 En cada uno de los ocho vértices del octógono en que termina la torre de mando de un buque hay luces de colores diferentes. ¿Cuántas señales distintas se podrán hacer encendiendo menos de cinco luces?

 

 ¿Cuántas multiplicaciones distintas de tres factores distintos con una cifra cada uno pueden hacerse con la condición de que el resultado debe ser distinto de cero? ¿Y si quitamos la condición de que los factores sean distintos?

 

 Calcular de la forma más rápida posible el valor de los siguientes números combinatorios:

 

• a) b)

 

 Comprobar si la siguiente igualdad es correcta: 

 

¿Cómo comprobarías, sin hallar sus valores, que los números combinatorios siguientes son iguales? 

 

 

Resolver la ecuación  

 

 Calcula el valor de m para que se verifique la siguiente igualdad:

 

 

  

 ¿Cuántos productos diferentes pueden formarse con los números 7, 9, 11, 13 y 17 tomados de tres en tres?

 

Con seis pesas de 1, 2, 5, 10, 20, y 50 kg ¿Cuántas pesadas diferentes pueden obtenerse tomándolas de tres en tres?

 

¿Cuántos números enteros distintos mayores que 10 y menores que 100 pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8?

 

¿Cuántas palabras, con significado o no, pueden formarse con todas las letras de la palabra "problema"?

 

¿Cuántos números distintos de cinco cifras diferentes pueden formarse con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 que sean menores que 54000?

 

Un depósito de agua tiene 5 caños de desagüe, que arrojan 1, 3, 5, 10 y 20 litros por minuto respectivamente. Abriendo indistintamente cuatro de estos caños, ¿en cuántos tiempos diferentes se puede desaguar el depósito?

 

Se tienen 14 letras diferentes. ¿De cuántas en cuántas habrá que tomarlas para que el número de sus combinaciones sea el mayor posible?

 

¿Cuántas sumas diferentes de dos sumandos se pueden obtener con los números 1, 3, 5, 11, 21 y 41?

 

Una clase tiene 24 alumnos y el profesor pregunta cada día la lección a dos de ellos. El profesor desea que no se repita nunca la misma pareja ¿Durante cuánto tiempo lo podrá conseguir?

 

A una persona se le sirven en cada comida cuatro platos, de los nueve que son de su agrado. ¿Cuántas comidas diferentes puede hacer esa persona?

 

En una fila de cine de 10 butacas, ¿cuántas posiciones diferentes pueden ocupar tres individuos?

 

¿Cuántas palabras de dos vocales y dos consonantes pueden formarse con cuatro consonantes y dos vocales, con la condición de que no pueden figurar dos vocales seguidas?

 

¿De cuántas maneras diferentes pueden sentarse 10 personas alrededor de una mesa?

 

En una carrera de seis caballos, ¿cuántas clasificaciones distintas pueden producirse si se supone que no hay ningún tipo de empate?

 

El número de variaciones de n objetos tomados de seis en seis es 720 veces mayor que el de combinaciones de estos objetos tomados de cuatro en cuatro. ¿De cuántos objetos se trata?

 

La diferencia entre el número de variaciones de n objetos tomados de dos en dos y el de combinaciones de esos mismos objetos tomados también de dos en dos es 190. ¿Cuántos objetos hay?

 

Con las cifras del número 8.752.436 ¿cuántos números distintos de tres cifras se pueden formar no repitiendo ninguna? ¿y repitiendo? ¿Cuántos de esos números son mayores que 500 (en ambos casos)?

 

Se tienen los números 5874 y 12369. ¿Cuántos números enteros pueden formarse que contengan dos cifras no repetidas del primero y tres cifras no repetidas del segundo? La misma cuestión pudiendo repetirse las cifras. La misma cuestión no repitiendo las cifras del primero pero sí las del segundo.

 

1. Con las cifras 1, 2, 3, 4 y 5 ¿cuántos números distintos de cinco cifras se pueden formar con la condición de que entren todos y de que el 3 ocupe siempre la cifra de las centenas?

 

1. Halla la suma de todas las posibles combinaciones que pueden hacerse con 10 letras tomadas de dos en dos, de tres en tres, de cuatro en cuatro, ..., de ocho en ocho y de nueve en nueve.

 

EJERCICIOS DE COMBINATORIA Y PROBABILIDADES

 

• 1) De cuantas maneras se pueden colocarlas figuras blancas (un rey, una dama, dos alfil, dos torres y dos caballos) en la primera fila del tablero de ajedrez.
• 2) De un grupo de seis hombres y cuatro mujeres.
• a) ¿Cuántas comisiones de tres personas se pueden formar?
• b) ¿Cuántas en la que haya exactamente un hombre?
• c) ¿Cuántas en la que haya al menos un hombre?
• 3) En una clase hay 10 alumnas rubias, 20 morenas, cinco alumnos rubios y diez morenos. Un día asisten 44 alumnos, encontrar la probabilidad de que el alumno que falta:
• a) Sea hombre
• b) Sea mujer morena.
• c) Sea hombre mujer.
• 4) Una caja contiene 5 fichas blancas y cuatro rojas. Dos fichas son extraídas al azar sin reemplazo. ¿Cuál es la probabilidad de que la segunda ficha sea blanca si se sabe que la primera, ha sido blanca?
• 5) Al extraer una carta de una baraja española queremos la probabilidad de obtener una figura o una espada
• 6) Si de una baraja española se eligen 4 al azar, determine:
• a) La probabilidad de elegir dos reyes.
• b) La probabilidad de que tres cartas sean del miso palo.
• c) La probabilidad de que todos los números sean menor de 7
• 7) En una encuesta realizada a 24 alumnos resulta que 18 fuman Marlboro, 12 Belmont y 8 de las dos clases. Se eligen tres alumnos al azar y se desea saber:
• a) ¿Cuál es la probabilidad de que los tres fumen?
• b) ¿Cuál es la probabilidad de que dos exactamente fumen Marlboro?
• 8) Antes de un examen, un alumno solo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a matemática. Este se realiza extrayendo al azar dos temas y dejando al alumno escoger uno de los dos para ser examinado .Hallar la probabilidad de que el alumno pueda elegir en el examen uno de los dos temas estudiado.
• 9) En una estantería hay 60 novelas y 20 libros de poesía. Una persona A elige un libro al azar de la estantería y se lo lleva. A continuación otra persona B elige otro libro al azar
• a) ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado sea una novela?
• b) Si se sabe que B eligió una novela, ¿Cuál es la probabilidad de que el libro seleccionado por A sea de poesía?

Hallar la probabilidad de que al lanzar al aire dos monedas, salgan:

1Dos caras.

2Dos cruces.

3Dos caras y una cruz.

2

Hallar la probabilidad de que al levantar unas fichas de dominó se obtenga un número de puntos mayor que 9 o que sea múltiplo de 4.

3

Un dado está trucado, de forma que las probabilidades de obtener las distintas caras son proporcionales a los números de estas. Hallar:

1La probabilidad de obtener el 6 en un lanzamiento.

2La probabilidad de conseguir un número impar en un lanzamiento.

4

Se lanzan dos dados al aire y se anota la suma de los puntos obtenidos. Se pide:

1La probabilidad de que salga el 7.

2La probabilidad de que el número obtenido sea par.

3La probabilidad de que el número obtenido sea múltiplo de tres.

5

Se lanzan tres dados. Encontrar la probabilidad de que:

1Salga 6 en todos.

2Los puntos obtenidos sumen 7.

Probabilidad condicionada

Sean A y B dos sucesos de un mismo espacio muestral E.

Se llama probabilidad del suceso A condicionada al B y se representa por P(A/B) a la probabilidad del suceso A una vez ha ocurrido el B.

Ejemplo

Calcular la probabilidad de obtener un 6 al tirar un dado sabiendo que ha salido par.

Sucesos independientes

Dos sucesos A y B son independientes si

p(B/A) = p(B)

Sucesos dependientes

Dos sucesos A y B son dependientes si

p(B/A) ≠ p(B)

Ejercicio resuelto

1

Sean A y B dos sucesos aleatorios con p(A) = 1/2, p(B) = 1/3, p(A B)= 1/4. Determinar:

1

2

3

4

5

Resolver y llevar a clase

1Una clase está formada por 10 chicos y 10 chicas; la mitad de las chicas y la mitad de los chicos han elegido francés como asignatura optativa.

a ¿Cuál es la probabilidad de que una persona elegida al azar sea chico o estudio francés?

b¿Y la probabilidad de que sea chica y no estudié francés?

2Un taller sabe que por término medio acuden: por la mañana tres automóviles con problemas eléctricos, ocho con problemas mecánicos y tres con problemas de chapa, y por la tarde dos con problemas eléctricos, tres con problemas mecánicos y uno con problemas de chapa.

a Hacer una tabla ordenando los datos anteriores.

bCalcular el porcentaje de los que acuden por la tarde.

cCalcular el porcentaje de los que acuden por problemas mecánicos.

dCalcular la probabilidad de que un automóvil con problemas eléctricos acuda por la mañana.

3Una clase consta de seis niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de tres al azar, hallar la probabilidad de:

a Seleccionar tres niños.

bSeleccionar exactamente dos niños y una niña.

cSeleccionar por lo menos un niño.

dSeleccionar exactamente dos niñas y un niño.

5Una caja contiene tres monedas. Una moneda es corriente, otra tiene dos caras y la otra está cargada de modo que la probabilidad de obtener cara es de 1/3. Se selecciona una moneda lanzar y se lanza al aire. Hallar la probabilidad de que salga cara.

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La unión de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos de A y de B.

Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurre uno de los dos, A o B, o ambos.

A B se lee como "A o B".

Ejemplo

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A B = {2, 3, 4, 6}

Propiedades de la unión de sucesos

Conmutativa

Asociativa

Idempotente

Simplificación

Distributiva

Elemento neutro

Absorción

La intersección de sucesos, A B, es el suceso formado por todos los elementos que son, a la vez, de A y B.

Es decir, el suceso A B se verifica cuando ocurren simultáneamente A y B.

A B se lee como "A y B".

Ejemplo

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A B = {3}

Propiedades de la intersección de sucesos

Conmutativa

Asociativa

Idempotente

Simplificación

Distributiva

Elemento neutro

Absorción

La diferencia de sucesos, A − B, es el suceso formado por todos los elementos de A que no son de B.

Es decir, la diferencia de los sucesos A y B se verifica cuando lo hace A y no B.

A − B se lee como "A menos B".

Ejemplo

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par" y B = "sacar múltiplo de 3". Calcular A − B.

A = {2, 4, 6}

B = {3, 6}

A − B = {2, 4}

Propiedad

El suceso = E - A se llama suceso contrario o complementario de A.

Es decir, se verifica siempre y cuando no se verifique A.

Ejemplo

Consideramos el experimento que consiste en lanzar un dado, si A = "sacar par". Calcular .

A = {2, 4, 6}

= {1, 3, 5}

Propiedades

Leyes de Morgan

Axiomas de la probabilidad

1.La probabilidad es positiva y menor o igual que 1.

0 ≤ p(A) ≤ 1

2. La probabilidad del suceso seguro es 1.

p(E) = 1

3.Si A y B son incompatibles, es decir A B = entonces:

p(A B) = p(A) + p(B)

Propiedades de la probabilidad

1 La suma de las probabilidades de un suceso y su contrario vale 1, por tanto la probabilidad del suceso contrario es:

2 Probabilidad del suceso imposible es cero.

3 La probabilidad de la unión de dos sucesos es la suma de sus probabilidades restándole la probabilidad de su intersección.

4 Si un suceso está incluido en otro, su probabilidad es menor o igual a la de éste.

5 Si A₁, A₂, ..., A_k son incompatibles dos a dos entonces:

6 Si el espacio muestral E es finito y un suceso es S = {x₁, x₂, ..., x_n} entonces:

Por ejemplo la probabilidad de sacar par, al tirar un dado, es:

P(par) = P(1) + P(2) + P(3)

Experimentos deterministas

Son los experimentos de los que podemos predecir el resultado antes de que se realicen.

Ejemplo

Si dejamos caer una piedra desde una ventana sabemos, sin lugar a dudas, que la pelota bajará. Si la arrojamos hacia arriba, sabemos que subirá durante un determinado intervalo de tiempo; pero después bajará.

Experimentos aleatorios

Son aquellos en los que no se puede predecir el resultado, ya que éste depende del azar.

Ejemplos

Si lanzamos una moneda no sabemos de antemano si saldrá cara o cruz.

Si lanzamos un dado tampoco podemos determinar el resultado que vamos a obtener.

Teoría de probabilidades

La teoría de probabilidades se ocupa de asignar un cierto número a cada posible resultado que pueda ocurrir en un experimento aleatorio, con el fin de cuantificar dichos resultados y saber si un suceso es más probable que otro. Con este fin, introduciremos algunas definiciones:

Suceso

Es cada uno de los resultados posibles de una experiencia aleatoria.

Al lanzar una moneda salga cara.

Al lanzar una moneda se obtenga 4.

Espacio muestral

Es el conjunto de todos los posibles resultados de una experiencia aleatoria, lo representaremos por E (o bien por la letra griega Ω).

Espacio muestral de una moneda:

E = {C, X}.

Espacio muestral de un dado:

E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Suceso aleatorio

Suceso aleatorio es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3, y otro, sacar 5.

Ejemplo

Una bolsa contiene bolas blancas y negras. Se extraen sucesivamente tres bolas. Calcular:

1. El espacio muestral.

E = {(b,b,b); (b,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (n,b,n); (n,n ,b); (n, n,n)}

2. El suceso A = {extraer tres bolas del mismo color}.

B = {(b,b,b); (n, n,n)}

3. El suceso A = {extraer al menos una bola blanca}.

B= {(b,b,b); (b

Suceso elemental

Suceso elemental es cada uno de los elementos que forman parte del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso elemental es sacar 5.

Suceso compuesto

Suceso compuesto es cualquier subconjunto del espacio muestral.

Por ejemplo al tirar un dado un suceso sería que saliera par, otro, obtener múltiplo de 3.

Suceso seguro

Suceso seguro, E, está formado por todos los posibles resultados (es decir, por el espacio muestral).

Por ejemplo al tirar un dado un dado obtener una puntuación que sea menor que 7.

Suceso imposible

Suceso imposible, , es el que no tiene ningún elemento.

Por ejemplo al tirar un dado obtener una puntuación igual a 7.

Sucesos compatibles

Dos sucesos, A y B, son compatibles cuando tienen algún suceso elemental común.

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 3, A y B son compatibles porque el 6 es un suceso elemental común.

Sucesos incompatibles

Dos sucesos, A y B, son incompatibles cuando no tienen ningún elemento en común.

Si A es sacar puntuación par al tirar un dado y B es obtener múltiplo de 5, A y B son incompatibles.

Sucesos independientes

Dos sucesos, A y B, son independientes cuando la probabilidad de que suceda A no se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Al lazar dos dados los resultados son independientes.

Sucesos dependientes

Dos sucesos, A y B, son dependientes cuando la probabilidad de que suceda A se ve afectada porque haya sucedido o no B.

Extraer dos cartas de una baraja, sin reposición, son sucesos dependientes.

Suceso contrario

El suceso contrario a A es otro suceso que se realiza cuando no se realiza A., Se denota por .

Son sucesos contrarios sacar par e impar al lanzar un dado.,b,n); (b,n,b); (n,b,b); (b,n,n); (

Espacio de sucesos, S, es el conjunto de todos los sucesos aleatorios.

Si tiramos una moneda el espacio se sucesos está formado por:

S= {, {C}, {X}, {C,X}}.

Observamos que el primer elemento es el suceso imposible y el último el suceso seguro.

Si E tiene un número finito de elementos, n, de elementos el número de sucesos de E es 2ⁿ .

Una moneda E= {C, X}.

Número de sucesos = 2² =4

Dos monedas E= {(C,C); (C,X); (X,C); (X,X)}.

Número de sucesos = 2⁴ =16

Un dado E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Número de sucesos = 2⁶ = 64n,b,n); (n,n ,b)}

4. El suceso A = {extraer una sola bola negra}.

A = {(b,b,n); (b,n,b); (n,b,b)}

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EJERCICIOS DE COMBINATORIA

Un estudiante tiene que contestar 8 de las 10 preguntas de un examen. ¿De cuántas formas diferentes puede contestar? ¿Y si las tres primeras son obligatorias? ¿Y si de las cinco primeras ha de contestar a cuatro?

Para jugar al dominó, siete fichas hacen un juego. Sabiendo que tiene 28 fichas, ¿cuántos juegos diferentes se pueden hacer?

Hallar el número mínimo de habitantes que debe tener una ciudad para que sea inevitable que al menos dos habitantes tengan las mismas iniciales de su nombre y dos apellidos. (Se supone que el alfabeto tiene 28 letras.)

El séxtuplo del número de combinaciones que se puede formar con m objetos tomados de tres en tres es igual al número de variaciones que se pueden formar con m-1 objetos tomados de cuatro en cuatro. Halla el valor de m, suponiendo que es mayor que cuatro.

La diferencia entre el número de variaciones binarias de m objetos y el de combinaciones binarias de los mismos m objetos es 136. Halla el número de objetos.

En las variaciones sin repetición que podemos formar con las nueve cifras significativas tomadas de tres en tres, ¿cuántas veces está la cifra 7?

¿Cuántas palabras de 12 letras se pueden formar con la palabra AYUNTAMIENTO, de tal manera que siempre comiencen y terminen por vocal?

Con una baraja de 52 cartas, ¿cuántos grupos diferentes de cinco cartas se pueden hacer?

¿Cuántas apuestas hay que rellenar en las quinielas de fútbol para tener la seguridad de acertar cinco resultados?

De un grupo de 12 alumnos deben formarse tres equipos de cuatro participantes para que asistan a tres pruebas diferentes. ¿Cuántas clasificaciones distintas pueden realizarse?

¿Cuál de las siguientes expresiones tiene mayor valor: ?

¿Cuántos tetraedros determinan ocho puntos del espacio de forma que cuatro cualesquiera de ellos no sean coplanarios?

¿Cuántas palabras de 10 letras diferentes pueden formarse con cinco vocales y cinco consonantes de las 21 existentes, de manera que no haya dos vocales juntas ni dos consonantes juntas?

En un departamento de una empresa trabajan cuatro hombres y tres mujeres. Desean que les hagan una fotografía de forma que estén todos los hombres juntos y también las mujeres. ¿De cuántas formas distintas pueden colocarse?

¿Cuántos resultados distintos se obtienen al lanzar tres dados iguales a la vez? ¿Y si los dados son distintos?

Con los dígitos pares, ¿cuántos números inferiores a 1 000 se pueden escribir?

Calcula el número de diagonales que tiene un polígono de 12 lados. Generaliza el caso para cuando se trate de un polígono de n lados.

Se disponen ocho monedas en una fila. La mitad de ellas son de duro y la otra mitad de 100 pesetas. ¿De cuántas formas distintas se pueden ordenar?

Una prueba de opción múltiple consta de 15 preguntas y cada una tiene tres alternativas. ¿En cuantas formas diferentes puede marcar un estudiante su respuesta a estas preguntas?

¿En cuantas formas puede un director de televisión programar seis diferentes comerciales de un patrocinador durante los seis periodos de tiempo asignado a mensajes comerciales durante un programa?

¿De cuantas maneras pueden formarse cinco personas para tomar el autobús? ¿De cuantas maneras si dos de las personas se niegan a hacerlo una detrás de otra?

¿Cuántas permutaciones diferentes hay de las letras de la palabra "statistics"? ¿Cuántas de ellas comienzan y terminan con la letra s?.

En un test de 20 preguntas con dos opciones, ¿de cuantas formas pueden marcarse las preguntas para que

a) siete estén correctas y 13 equivocadas;

b) 10 estén correctas y 10 equivocadas;

c) cuando menos 17 están correctas?

Si se suponen ordenadas todas las permutaciones que se pueden formar con las cifras 1, 2, 3, 5, 8, 9 en orden creciente, que lugar ocupa la permutación 598132.

¿Cuántos números naturales, incluido el cero, hay que sean menores que 1000, si cada número está constituido por cifras diferentes.

Calcula el valor de m que verifica V.

Combinatoria

Problemas resueltos

Permutación

1) Se tienen 3 libros: uno de aritmética (A), uno de biología(B) y otro de cálculo(C), y se quiere ver de cuántas maneras se pueden ordenar en un estante.

En principio se puede elegir cualquiera de los 3 para colocar en primer lugar:

Una vez elegido uno de ellos, para ocupar el primer lugar, quedan 2 posibles para ubicar

Se ve entonces que hasta ahora hay 3.2 maneras distintas de ordenar los libros. Pero una vez dispuestos las 2 primeros queda unívocamente determinado cuál debe ser el tercero.

O sea que el número total de maneras posibles de ordenar los 3 libros se puede calcular como: 3.2.1 = 6

Variación

2) Se tienen 7 libros y solo 3 espacios en una biblioteca, y se quiere calcular de cuántas maneras se pueden colocar 3 libros elegidos; entre los siete dados, suponiendo que no existan razones para preferir alguno.

En un principio se puede elegir cualquiera de los 7 libros para ubicarlo en

Primer lugar Después quedan 6 libros posibles para colocar en el segundo lugar y por último solo 5 libros para el tercer lugar.

Por lo tanto las distintas maneras en que se pueden llenar los 3 huecos de la

biblioteca es: 7.6.5 = 210

Si se tienen n libros y tres lugares es: n.(n - 1).(n - 2)

En general para n libros y k lugares resulta:

n. (n-1). (n-2). ..... .[n- (k-1)]

Con la fórmula: V_n,k = n!/(n-k)! _® V_7,3=7!/(7-3)!=7.6.5.4!/4!=7.6.5

PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

3) ¿Cuántas permutaciones pueden formarse con las letras de la palabra BONDAD?

Hay 6!/2!

Si se escribe en lugar de BONDAD: BONDAD’

Todas las letras son distintas, luego hay 6! permutaciones, pero cada par de

permutaciones:

- - - D - D’

- - - D’- D

Coinciden, por lo tanto se tiene que dividir por 2 el número total de permutaciones

4) ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra AMASAS?

Si a la letras que se repiten se les coloca un subíndice se tiene

A ₁M A ₂ S ₁ A ₃ S₂ y el número de permutaciones posibles es P₆ = 6!

Que ocurre si sólo se cambian de posición las letras A?

A ₁M A ₂ S ₁ A ₃ S₂ A ₂M A ₃ S ₁ A ₂ S₂

A ₁M A ₃ S ₁ A ₂ S₂ A ₃M A ₁S ₁ A ₂ S₂

A ₂M A ₁ S ₁ A ₃ S₂ A ₃M A ₂ S ₁ A ₁ S₂

Se obtienen tantas maneras distintas de ordenar como permutaciones de 3

elementos (las 3 "A"), cuyo número es P₃ = 3!

De manera similar si sólo se modifica la posición de la letra "S" se obtienenP₂ = 2! maneras de ordenar diferentes.

Pero en cualquiera de los dos casos, siempre se sigue leyendo la misma palabra, es decir, que si se borran los subíndices, no se distingue diferencia alguna.

Se puede encontrar el número de permutaciones –P₆ distinguibles o no – haciendo el producto de las distinguibles – que se indican ₆ P _2,3 – por las no distinguibles P₂ y P₃ .

P₆ = ₆ P_2,3 . P₂. P₃

De esta manera se puede encontrar el número de permutaciones distinguibles:

Combinación

5) Un hospital cuenta con 21 cirujanos con los cuales hay que formar ternas para realizar guardias. ¿Cuántas ternas se podrán formar?

Se trata de formar todas las ternas posibles, sin repetir elementos en cada una, y sin importar el orden de los elementos.

Si quisiéramos formar todas las ternas posibles, sin repetición de elementos en cada una, para elegir el primer elemento hay 21 posibilidades, para el segundo quedan 20 posibilidades, y para el tercero 19 posibilidades, por lo tanto el número de ternas posibles está dado por: 21* 20*19 = 7980

Pero en este caso cada terna aparece repetida en distinto orden, por ejemplo tendremos: ABC, ACB, BAC, CAB y CBA. Son seis ternas con los mismos elementos, que está dado por el factorial de 3.

Por lo tanto el total de ternas obtenido 7980, hay que dividirlo por 6

7980/6 = 1330

Se pueden organizar las guardias de 1330 maneras diferentes

Este es un problema de combinación. Si llamamos m al número de elementos del conjunto y n al número que integrará cada uno de los conjuntos que debemos formar, de modo que ls elementos de cada uno sean diferentes y no importa el orden, se tiene la fórmula:

C_{m,n =} m!/ (n!. (m-n)!)

Combinaciones con repetición

6)¿De cuántas maneras pueden entrar cuatro alumnos en tres aulas, si no se hace distinción de personas?

Si tomamos, por ejemplo que entran dos personas en el aula 1, una en el aula 2 y otra en el aula 3

Que escribimos: 1123

Pero también se puede dar la siguiente situación

Es decir 3121

Otra situación

O sea 3211

Al no haber distinción estas distribuciones de cuatro alumnos en tres aulas son la misma.

Otra distribución distinta es, por ejemplo 1113, que significa: tres alumnos entraron en el aula 1 y el cuarto en el aula 3.

De modo que las distribuciones posibles de 4 personas en tres aulas, son

C’_3,4 = C_3+4-1,4 = C_6,4 = 6 . 5. 4. 3/(4. 3. 2. 1) = 15

7. Una comida gratis

Diez jóvenes decidieron celebrar la terminación de sus estudios en la escuela secundaria con un almuerzo en un restaurante. Una vez reunidos, se entabló entre ellos una discusión sobre el orden en que habían de sentarse a la mesa. Unos propusieron que la colocación fuera por orden alfabético; otros, con arreglo a la edad; otros, por los resultados de los exámenes; otros, por la estatura, etc. La discusión se prolongaba, la sopa se enfrió y nadie se sentaba a la mesa. Los reconcilió el camarero, dirigiéndoles las siguientes palabras:

• Jóvenes amigos, dejen de discutir. Siéntense a la mesa en cualquier orden y escúchenme

Todos se sentaron sin seguir un orden determinado. El camarero continuó:

• Que uno cualquiera anote el orden en que están sentados ahora. Mañana vienen a comer y se sientan en otro orden. Pasado mañana vienen de nuevo a comer y se sientan en orden distinto, y así sucesivamente hasta que hayan probado todas las combinaciones posibles. Cuando llegue el día en que ustedes tengan que sentarse de nuevo en la misma forma que ahora, les prometo solemnemente, que en lo sucesivo les convidaré a comer gratis diariamente, sirviéndoles los platos más exquisitos y escogidos.

La proposición agradó a todos y fue aceptada. Acordaron reunirse cada día en aquel restaurante y probar todos los modos distintos, posibles, de colocación alrededor de la mesa, con objeto de disfrutar cuanto antes de las comidas gratuitas.

Sin embargo no lograron llegar hasta ese día. Y no porque el camarero no cumpliera su palabra sino porque el número total de combinaciones diferentes alrededor de la mesa es extraordinariamente grande. Estas son exactamente 3.628.800. Es fácil calcular, que este número de días son casi 10.000 años.

Posiblemente a ustedes les parecerá increíble que 10 personas puedan colocarse en un número tan elevado de posiciones diferentes. Comprobemos el cálculo.

Ante todo, hay que aprender a determinar el número de combinaciones distintas, posibles. Para mayor sencillez empecemos calculando un número pequeño de objetos, por ejemplo, tres. Llamémosles A, B y C.

Deseamos saber de cuantos modos diferentes pueden disponerse, cambiando mutuamente su posición. Hagamos el siguiente razonamiento. Si se separa de momento el objeto C, los dos restantes, A y B, pueden colocarse solamente en dos formas.

Ahora agreguemos el objeto C a cada una de las parejas obtenidas. Podemos realizar esta operación tres veces:

1. colocar C detrás de la pareja,
2. colocar C delante de la pareja,
3. colocar C entre los dos objetos de la pareja.

Es evidente que no son posibles otras posiciones distintas para el objeto C, a excepción de las tres mencionadas. Como tenemos dos parejas, AB y BA, el número total de formas posibles de colocación de los tres objetos será: 2 x 3 = 6.

Hagamos el cálculo para cuatro objetos.

Tenemos cuatro objetos A, B, C y D, y separemos de momento uno de ellos, por ejemplo, el objeto D. Efectuemos con los otros tres todos los cambios posibles de posición. Ya sabemos que para tres, el número de cambios posibles es 6. ¿En cuántas formas diferentes podemos disponer el cuarto objeto en cada una de las 6 posiciones que resultan con tres objetos? Evidentemente, serán cuatro. Podemos:

1. colocar D detrás del trío,
2. colocar D delante del trío,
3. colocar D entre el 1º y de 2º objetos,
4. colocar D entre el 2º y 3º.

Obtenemos en total: 6 x 4 = 24 posiciones, pero teniendo en cuenta que 6 = 2 x 3 y que 2 = 1 x 2, entonces podemos calcular el número de cambios posibles de posición haciendo la siguiente multiplicación: 1 x 2 x 3 x 4 = 24.

Razonando de idéntica manera, cuando haya 5 objetos, hallaremos que el número de formas distintas de colocación será igual a: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120.

Para 6 objetos será: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 720 y así sucesivamente.

Volvamos de nuevo al caso antes citado de los 10 comensales. Sabremos el número de posiciones que pueden adoptar las 10 personas alrededor de la mesa, si nos tomamos el trabajo de calcular el producto siguiente: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10.

Resultará el número indicado anteriormente: 3.628.800.

El cálculo sería más complicado, si de los 10 comensales, 5 fueran muchachas y desearan sentarse a la mesa alternando con los muchachos. A pesar de que el número posible de combinaciones se reduciría en este caso considerablemente, el cálculo sería más complejo.

Supongamos que se sienta a la mesa, indiferentemente del sitio que elija, uno de los jóvenes. Los otros cuatro pueden sentarse, dejando vacías para las muchachas las sillas intermedias, adoptando 1 x 2 x 3 x 4 = 24 formas diferentes. Como en total hay 10 sillas, el primer joven puede ocupar 10 sitios distintos. Esto significa que el número total de combinaciones posibles para los muchachos es de 10 x 24 = 240.

¿En cuántas formas diferentes pueden sentarse en las sillas vacías, situadas entre los jóvenes las 5 muchachas? Evidentemente serán 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120. Combinando cada una de las 240 posiciones de los muchachos, con cada una de las 120 que pueden adoptar las muchachas, obtendremos el número total de combinaciones posibles, o sea, 240 x 120 = 28.800

Este número, como vemos, es muchas veces inferior al que hemos citado antes y se necesitaría un total de 79 años. Los jóvenes clientes del restaurante, que vivieran hasta la edad de cien años, podrían asistir a una comida, servida gratis, si no por el propio camarero, al menos por uno de sus descendientes.

Sabiendo calcular el número de permutaciones posibles, podemos determinar el número de combinaciones realizables con las cifras del "juego del 15". Con otras palabras, podemos calcular el número total de ejercicios que es posible efectuar con ese juego. Se comprende fácilmente, que el cálculo se reduce a hallar el número de combinaciones posibles a base de 15 objetos. Sabemos, según hemos visto, que para ello es preciso multiplicar sucesivamente: 1 x 2 x 3 x 4 x … x 14 x 15.

Como resultado se obtiene: 1.307.674.365.000, o sea, más de un billón.

La mitad de ese enorme número de ejercicios son insolubles, o sea que en este juego, más de 600.000 millones de combinaciones no tienen solución. Por ello se comprende, en parte, la fiebre de apasionamiento por el "juego del 15", que embargó a las gentes, que no sospechaban la existencia de ese inmenso número de casos insolubles.

Si fuera posible colocar cada segundo las cifras en una nueva posición, para realizar todas las combinaciones posibles, habría que trabajar incesantemente día y noche más de 40.000 años.

Como fin de nuestra charla sobre el número de combinaciones posibles, resolvamos el siguiente problema relacionado con la vida escolar.

Hay en clase 25 alumnos. ¿En cuántas formas diferentes pueden sentarse en los pupitres?

Para los que han asimilado lo expuesto anteriormente, la solución es muy sencilla: basta multiplicar sucesivamente los 25 números siguientes: 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x … x 23 x 24 x 25.

En matemáticas existen diversos métodos de simplificación de los cálculos, pero para facilitar operaciones como la que acabamos de mencionar, no los hay. El único procedimiento para efectuar exactamente esta operación consiste en multiplicar con paciencia todos esos números. Sólo puede reducirse algo de tiempo requerido para efectuar esa multiplicación, eligiendo una agrupación acertada de los mismos. El resultado que se obtiene es un número enorme compuesto de 26 cifras, cuya magnitud es incapaz de representársela nuestra imaginación.

He aquí el número: 15.511.210.043.330.985.984.000.000

COMBINATORIA

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La "Teoría Combinatoria" resuelve problemas que aparecen al estudiar y cuantificar las diferentes agrupaciones (ordenaciones, colecciones,...) que podemos formar con los elementos de un conjunto.

Entre las diferentes configuraciones o agrupaciones que podemos formar con los elementos de un conjunto, las más importantes son :

Agrupaciones	Tipo	¿Importa orden?	¿Pueden repetirse?	Elementos por grupo	Elementos disponibles	En cada agrupación...	FÓRMULA
VARIACIONES	sin repetición	SI	NO	n	m	n < m
	con repetición		SI			n < m, n > m
PERMUTACIONES	sin repetición	SI	NO			n = m
	con repetición		SI
COMBINACIONES	sin repetición	NO	NO
	con repetición		SI

REGLA DE MULTIPLICAR

Si el objeto A₁ puede ser elegido mediante k₁ procedimientos, luego para cada una de éstas elecciones del objeto A₁ otro objeto A₂ puede ser elegido por k₂ métodos, después cada una de estas elecciones, tanto del A₁ como del A₂, el tercer objeto A₃ puede ser elegido por k₃ procedimientos, etc... incluyendo el m-ésimo objeto A_m, el cual puede ser elegido mediante k_m métodos, entonces el objeto que figura en la elección de todos los m objetos junto, es decir, el objeto "A₁ y A₂ y A₃ y ... y A_m" puede ser elegido por k₁·k₂·k₃·...·k_m métodos.

• Ejemplo (Variaciones SIN repetición) :

¿Cuantos números de tres cifras distintas se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?

Al tratarse de números el orden importa y además nos dice "cifras distintas" luego no pueden repetirse.
Por tanto, se pueden formar 504 números :

• Ejemplo (Variaciones CON repetición) :

¿Cuantos números de tres cifras se pueden formar con las nueve cifras significativas del sistema decimal?

Al tratarse de números el orden importa y además no dice nada sobre "cifras distintas" luego si pueden repetirse.
Por tanto, se pueden formar 729 números :

¿Cuantas palabras distintas de 10 letras (con o sin sentido) se pueden escribir utilizando sólo las letras a, b?

Al tratarse de palabras el orden importa y además como son palabras de 10 letras y sólo tenemos dos para formarlas, deben repetirse.
Por tanto, se pueden formar 1024 palabras :

• Ejemplo (Permutaciones SIN repetición) :

Con las letras de la palabra DISCO ¿cuantas palabras distintas se pueden formar?

Evidentemente, al tratarse de palabras el orden importa. Y además n = m, es decir tenemos que formar palabras de cinco letras con cinco elementos D, I, S, C, O que no están repetidos.
Por tanto, se pueden formar 120 palabras :

• Ejemplo (Permutaciones CON repetición) :

¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en línea nueve bolas de las que 4 son blancas, 3 amarillas y 2 azules?

El orden importa por ser de distinto color, pero hay bolas del mismo color (están repetidas) y además n = m, es decir colocamos 9 bolas en linea y tenemos 9 bolas para colocar.
Por tanto, tenemos 1260 modos de colocarlas :

• Ejemplo (Combinaciones SIN repetición) :

Cuantos grupos de 5 alumnos pueden formarse con los treinta alumnos de una clase. (Un grupo es distinto de otro si se diferencia de otro por lo menos en un alumno)

No importa el orden (son grupos de alumnos). No puede haber dos alumnos iguales en un grupo evidentemente, luego sin repetición.
Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos :

• Ejemplo (Combinaciones CON repetición) :

En una confiteria hay cinco tipos diferentes de pasteles. ¿De cuántas formas se pueden elegir cuatro pasteles)

No importa el orden (son pasteles). Puede haber dos o más pasteles en un grupo, luego con repetición.
Por tanto, se pueden formar 142506 grupos distintos :

• Ejemplo (Regla de Multiplicar) :

¿Cuantos números pares de tres cifras se pueden formar, usando las cifras 0, 1, 2, 3, 4, 5 y 6, si éstas pueden repetirse?

Al formar un número par de tres cifras A₁A₂A₃ con ayuda de las cifras dadas, en vez de A₁ puede tomarse una cifra cualquiera, salvo el 0, es decir 6 posibilidades. En vez de A₂ pueden tomarse cualquier cifra, es decir 7 posibilidades, y en vez de A₃ cualquiera de las cifras 0, 2, 4, 6, es decir 4 posibilidades.De este modo, conforme a la "Regla de Multiplicar" existen 6·7·4 = 168 procedimientos.
Así pues, con las cifras dadas pueden formarse 168 números pares de tres cifras.

Pautas para la resolución de problemas

• Si en cada agrupación figuran sólo algunos de los elementos disponibles, importando el orden de colocación de éstos, entonces es un problema de variaciones. (ejemplo 1)
• Si en cada agrupación figuran todos los elementos disponibles, importando su orden de colocación, entonces se trata de un problema de permutaciones. (ejemplo 2)
• Si en cada agrupación figuran sólo algunos de los elementos disponibles, sin importar el orden de colocación de éstos, entonces estamos ante un problema de combinaciones. (ejemplo 3)