Triángulo

Un triángulo, en geometría, es un polígono de tres lados; está determinado por tres segmentos de recta que se denominan lados, o tres puntos no alineados que se llaman vértices.

Si está contenido en una superficie plana se denomina triángulo, o trígono, un nombre menos común para este tipo de polígonos. Si está contenido en una superficie esférica se denomina triángulo esférico. Representado, en cartografía, sobre la superficie terrestre, se llama triángulo geodésico.

Los tres ángulos internos de un triángulo miden 180° en geometría euclidiana

Propiedades de los triángulos

• En los triángulos contenidos en un plano, la suma de todos los ángulos internos, es igual a 180°.

• La suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que la longitud del tercer lado.

• Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del seno que establece: «Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los ángulos opuestos»:

El teorema de Pitágoras gráficamente.

• Para cualquier triángulo se verifica el Teorema del coseno que demuestra que «El cuadrado de un lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo comprendido»:

• Para cualquier triángulo rectángulo, cuyos catetos miden a y b, y cuya hipotenusa mida c, se verifica el Teorema de Pitágoras:

Centros del triángulo

Geométricamente se pueden definir varios centros en un triángulo:

• Baricentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las medianas, y equivale al centro de gravedad
• Circuncentro: es el centro de la circunferencia circunscrita, aquella que pasa por los tres vértices del triángulo. Se encuentra en la intersección de las mediatrices de los lados.
• Incentro: es el centro de la circunferencia inscrita, aquella que es tangente a los lados del triángulo. Se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos.
• Ortocentro: es el punto que se encuentra en la intersección de las alturas.

El único caso en que estos tres centros coinciden en un único punto es en un triángulo equilátero.

Clasificación de los triángulos

Por la longitud de sus lados se clasifican en:

• Triángulo equilátero: si sus tres lados tienen la misma longitud (los tres ángulos internos miden 60 grados ó radianes.)
• Triángulo isósceles: si tiene dos lados de la misma longitud. Los ángulos que se opone a estos lados tienen la misma medida.
• Triángulo escaleno: si todos sus lados tienen longitudes diferentes. En un triángulo escaleno no hay ángulos con la misma medida.

Por la amplitud de sus ángulos:

• Triángulo rectángulo: si tiene un ángulo interior recto (90°). A los dos lados que conforman el ángulo recto se les denomina catetos y al otro lado hipotenusa.
• Triángulo oblicuángulo: cuando no tiene un ángulo interior recto (90°).
• Triángulo obtusángulo: si uno de sus ángulos es obtuso (mayor de 90°); los otros dos son agudos (menor de 90°).
• Triángulo acutángulo: cuando sus tres ángulos son menores a 90°; el triángulo equilátero es un caso particular de triángulo acutángulo.

Además, tienen estas denominaciones y características:

Los triángulos acutángulos pueden ser:

• Triángulo acutángulo isósceles: con todos los ángulos agudos, siendo dos iguales, y el otro distinto, este triángulo es simétrico respecto de su altura diferente.

• Triángulo acutángulo escaleno: con todos sus ángulos agudos y todos diferentes, no tiene ejes de simetría.

Los triángulos rectángulos pueden ser:

• Triángulo rectángulo isósceles: con un angulo recto y dos agudos iguales (de 45 cada uno), dos lados son iguales y el otro diferente, naturalmente los lados iguales son los catetos, y el diferente es la hipotenusa, es simétrico respecto a la altura que pasa por el ángulo recto hasta la hipotenusa.

• Triángulo rectángulo escaleno: tiene un ángulo recto y todos sus lados y ángulos son diferentes.

Los triángulos obtusángulos son:

• Triángulo obtusángulo isósceles: tiene un ángulo obtuso, y dos lados iguales que son los que parten del ángulo obtuso, el otro lado es mayor que estos dos.

• Triángulo obtusángulo escaleno: tiene un ángulo obtuso y todos sus lados son diferentes.

Triángulo	equilátero	isósceles	escaleno
acutángulo
rectángulo
obtusángulo

Por sus lados

Propiedad

La suma de los ángulos de un triángulo vale 180º

A + B + C = 180°

De lo anterior se deduce que en todo triángulo hay, al menos, dos ángulos agudos. Este hecho nos permite clasificar los triángulos en virtud de sus ángulos.

Por sus ángulos

Entre tus herramientas de dibujo tienes un cartabón, que no es más que un triángulo rectángulo isósceles.

Con este instrumento puedes calcular algunas distancias inaccesibles como se muestra en el siguiente dibujo.

• Calcula la altura del techo de tu clase.
• Estima la altura del instituto.

Construcción de triángulos

Conocidos un lado y sus ángulos adyacentes

Construir un triángulo con un lado de 7 cm y ángulos adyacentes de 30° y 50°.

Dibujamos como base un segmento de 7 cm y sobre sus extremos, con la ayuda de un transportador de ángulos, dibujamos los ángulos señalados. Prolongando los lados de los ángulos, obtenemos el tercer vértice.

Conocidos dos lados y el ángulo comprendido

Construir un triángulo de lados 5 cm y 7 cm, siendo el ángulo comprendido de 40°.

Con el transportador dibujamos un ángulo de 40° y, sobre los lados del ángulo señalamos sendos segmentos de 5 y 7 cm, respectivamente. Uniendo los extremos de lso segmentos por un tercero, obtenemos el triángulo.

Conocidos dos lados y el ángulo opuesto a uno de ellos

Construir un triángulo con dos lados de 7 y 5 cm, y un ángulo de 30° opuesto al lado pequeño.

Sobre un extremo del lado mayor dibujamos un ángulo de 30°. Con un compás de radio 5 cm, trazamos un arco desde el otro extremo que corta en dos puntos el lado del ángulo. Obtenemos de esta manera dos soluciones al problema: los triángulos ABC y ABD de la figura adjunta.

Repite el problema anterior con un lado mayor de 15 cm y comenta el resultado.

• Haz lo mismo con un primer lado de 2 cm.

Conocidos los tres lados

Construir un triángulo de lados 3, 5 y 6 cm.

Desde los extremos del lado mayor trazamos dos circunferencias de radios 3 y 5 cm. El punto de corte nos da el tercer vértice.

• ¿Puedes construir un triángulo de lados 3, 5 y 9 cm?
• Cuál es la condición para que tres segmentos formen un triángulo?

Puntos notables de un triángulo

Circunferencia circunscrita a un triángulo

Se llama mediatriz de un segmento al lugar geométrico de los puntos equidistantes de sus extremos.

Para dibujar la mediatriz, se trazan, con igual radio, dos arcos desde cada extremo. La recta que une los dos puntos en los que se cortan dichos arcos es la mediatriz del segmento.

Si dibujamos las mediatrices de los lados de un triangulo cualquiera, observamos que se cortan en un punto C, llamado circuncentro, que está a igual distancia de los tres vértices (¿por qué?). Este punto es el centro de la circunferencia circunscrita al triángulo.

Circunferencia inscrita en un triángulo

Se llama bisectriz de un ángulo al lugar geométrico de los puntos equidistantes de sus lados. La bisectriz divide al ángulo en dos mitades iguales.

Para dibujar la bisectriz de un ángulo cualquiera conocido, se trazan, con igual radio, dos arcos desde A y B. El punto donde se cortan, junto con el vértice O del ángulo nos determina la bisectriz.

Las bisectrices de los tres ángulos de un triángulo se cortan en un punto I que está a igual distancia de los tres lados (¿por qué?). Este punto se llama incentro y es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

Actividad

Dibuja una circunferencia que sea tangente a las tres rectas.

Alturas de un triángulo

Se llaman alturas de un triángulo a cada uno de los tres segmentos que son perpendiculares a un lado y pasan por el vértice opuesto.

Las tres alturas se cortan en un punto llamado ortocentro.

Medianas de un triángulo

Se llaman medianas a los segmentos que unen el punto medio de un lado con el vértice opuesto.